|
Aritmatika
Aritmatika atau
aritmetika (dari kata bahasa Yunani αριθμός = angka) atau dulu
disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua (atau pendahulu)
matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang
awam, kata "aritmatika" sering dianggap sebagai sinonim dari Teori
Bilangan, tetapi bidang ini adalah bidang Aritmatika tingkat
Lanjut yang berbeda dengan Aritmatika Dasar.
Sejarah
Peninggalan
prasejarah tentang Aritmatika sangat terbatas pada beberapa
artifak yang mengindikasikan adanya konsep Penambahan dan
Pengurangan, yang paling terkenal adalah ‘The Ishango Bone’ di
Afrika, diperkirakan berasal dari tahun 18.000 SM.
Tampak jelas
bahwa bangsa Babilonia sudah memiliki hampir semua aspek dari
Aritmatika Dasar (1850 SM), walaupun mereka tidak menggunakan
basis desimal untuk menghitungnya. Mengenai konsep Perkalian dan
Pembagian dapat ditemukan pada ‘Rind Mathematical Papyrus’ dari
Mesir Kuno pada 1650 SM.
Algoritma Modern
untuk Aritmatika (baik untuk manual maupun untuk komputasi)
merupakan perkembangan dari angka Arab dan konsep notasi Desimal.
Meskipun sekarang hal ini kelihatannya begitu sederhana, tetapi
perkembangan ini merupakan puncak dari ribuan tahun perkembangan
matematika kuno. Penemuan Aljabar selama peradaban Islam dan
selama masa Renaisans Eropa merupakan perkembangan lebih lanjut
dari penyederhanaan perhitungan melalui notasi Desimal ini.
Aritmatika
Desimal
Notasi Desimal
mengkonstruksi semua bilangan riil menjadi digit-digit, yang
masing-masing dapat terdiri dari 10 macam simbol, yaitu: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Setiap digit ini berkaitan dengan Posisinya
yang relatif terhadap Titik Desimal., sebagai contoh 507.36
mempunyai arti 5 ratus (10^2), ditambah 7 satuan (10^0), ditambah
3 persepuluh (10^-1), dan ditambah 6 perseratus (10^-2). Bagian
esensial di sini adalah adanya bilangan nol (0) sebagai simbol
dasar dari notasi desimal, secara harfiah simbol nol berarti
kosong. Selanjutnya Algoritma untuk Aritmatika Desimal menggunakan
sistem nilai tempat atau Notasi Posisi ini, dimana setiap digit
dalam bilangan mempunyai bobotnya masing-masing, untuk melakukan
operasi dasar Aritmatika, yaitu: penambahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian.
Operasi
aritmatika
Operasi dasar
aritmatika adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian, walaupun operasi-operasi lain yang lebih canggih (seperti
persentase, akar kuadrat, pemangkatan, dan logaritma) kadang juga
dimasukkan ke dalam kategori ini. Perhitungan dalam aritmatika
dilakukan menurut suatu urutan operasi yang menentukan operasi
aritmatika yang mana lebih dulu dilakukan.
Aritmatika
bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan
real umumnya dipelajari oleh anak sekolah, yang mempelajari
algoritma manual aritmatika. Namun demikian, banyak orang yang
lebih suka menggunakan alat-alat seperti kalkulator, komputer,
atau sempoa untuk melakukan perhitungan aritmatika.
1.
Penjumlahan (+) adalah salah satu operasi aritmatika dasar.
Penjumlahan merupakan penambahan dua bilangan menjadi suatu
bilangan yang merupakan Jumlah. Penambahan lebih dari dua bilangan
dapat dipandang sebagai operasi Penambahan berulang, prosedur ini
dikenal sebagai Penjumlahan Total (summation), yang mencakup juga
penambahan dari barisan bilangan tak hingga banyaknya (infinite).
Penjumlahan
mempunyai sifat Komutatif dan Assosiatif, oleh karena itu urutan
penjumlahan tidak mempengaruhi hasilnya. Elemen identitas dari
penjumlahan adalah nol (0), disini penambahan sembarang bilangan
dengan identitas (nol) akan tidak akan merubah angka tersebut.
Selanjutnya elemen bilangan invers dari penambahan adalah negatif
dari bilangan itu sendiri, di sini penambahan suatu bilangan
dengan inversnya akan menghasilkan identitas (nol).
2.
Pengurangan (-) adalah lawan dari operasi penjumlahan.
Pengurangan mencari ‘perbedaan’ antara dua bilangan A dan B (A-B),
hasilnya adalah Selisih dari dua bilangan A dan B tersebut. Bila
Selisih bernilai positif maka nilai A lebih besar daripada B, bila
Selisih sama dengan nol maka nilai A sama dengan nilai B dan
terakhir bila Selisih bernilai negatif maka nilai A lebih kecil
daripada nilai B.
Pengurangan
tidak mempunyai sifat baik Komutatif maupun Assosiatif. Oleh
karena hal ini, terkadang pengurangan dipandang sebagai penambahan
suatu bilangan dengan negatif bilangan lainnya, a - b = a + (-b).
Dengan cara penulisan ini maka sifat Komutatif dan Assosiatif akan
dipenuhi.
3. Perkalian
(*) pada intinya adalah penjumlahan yang berulang-ulang. Perkalian
dua bilangan menghasilkan Hasil Kali (product), sebagai contoh 4*3
= 4+4+4 = 12.
Perkalian,
dipandang sebagai penjumlahan berulang, tentunya mempunyai sifat
Komutatif dan Assosiatif. Lebih jauh lagi perkalian mempunyai
sifat Distributif atas Penambahan dan Pengurangan. Elemen
identitas untuk perkalian adalah satu (1), disini perkalian
sembarang bilangan dengan identitas (satu) akan tidak akan merubah
angka tersebut. Selanjutnya elemen bilangan invers dari perkalian
adalah satu-per-bilangan itu sendiri, di sini perkalian suatu
bilangan dengan inversnya akan menghasilkan identitas (satu).
4. Pembagian
(/) adalah lawan dari perkalian. Pembagian dua bilangan A dan B
(A/B) akan menghasilkan Hasil Bagi (quotient). Sembarang pembagian
dengan bilangan nol (0) tidak didefinisikan. Selanjutnya bila
nilai Hasil Bagi lebih dari satu, berarti nilai A lebih besar
daripada nilai B, bilai Hasil Bagi sama dengan satu, maka berarti
nilai A sama dengan nilai B, dan terakhir bila Hasil Baginya
kurang dari satu maka nilai A kurang dari nilai B.
Pembagian tidak
bersifat Komunitatif maupun Assosiatif. Sebagaimana Pengurangan
dapat dipandang sebagai kasus khusus dari penambahan, demikian
pula Pembagian dapat dipandang sebagai Perkalian dengan elemen
invers pembaginya, sebagai contoh A/B =A*(1/B). Dengan cara
penulisan seperti ini maka semua sifat-sifat perkalian seperti
Komunitatif dan Assosiatif akan dipenuhi oleh Pembagian.
BACK |
