|
RINGKASAN
DISKUSI DI MILIS 1
Latar
belakang metode horisontal
Metode
Horisontal merupakan bentuk deduktif dari Metode sempoa, ia
bukan sekedar rumus atau formula untuk mempercepat perhitungan
tetapi merupakan cara berpikir (the way of thinking).
Secara umum
konsep yang mendasari baik Metode Horisontal dan Metode Sempoa
adalah sama yaitu konsep asosiasi posisi. Di dalam metode
Sempoa, konsep asosiasi posisi ini dipelajari secara tidak
langsung dengan menggunakan media sempoa (abacus) secara
berulang-ulang sehingga dapat disebut logika induktif. Dalam
Metode Horisontal,
konsep
asosiasi posisi ini dipelajari secara langsung dengan
mengenalkan konsep asosiasi posisi dengan Notasi Pagar kepada
para siswanya. Metode penyampaian Notasi Pagar ini disesuaikan
dengan tingkat kemampuan anaknya, dapat dengan berbagai media
permainan untuk anak-anak yang masih kecil atau langsung
menggunakan konsep matematika untuk mereka yang sudah cukup
dewasa. Oleh karena itu jelas bahwa seperti halnya Metode
Sempoa, metode Horisontal dapat digunakan untuk menghitung
penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian.
Terlebih
lagi dengan menggunakan Notasi Pagar, bidang Aritmatika akan
dapat digali lebih dalam lagi sehingga masuk pada Tahap
Perhitungan Mental dan selanjutnya Tahap Kreatifitas. Tahap
Perhitungan mental artinya anak akan dapat menghitung tanpa
menggunakan alat bantu apapun kecuali pikirannya sendiri.
Sedangkan dalam tahap kreatifitas, anak dapat diajarkan untuk
membuktikan suatu formula aritmatika dan juga membuat formula
yang lebih cepat bagi diri mereka sendiri
CONTOH I
Sebagai
motivasi untuk diskusi kita, kami memberikan contoh sederhana
mengenai kasus perhitungan kuadrat:
1. Misalkan
soal 25^2 dalam metode horisontal dituliskan sebagai (2|5)^2
dengan "|" adalah notasi pagar yang menunjukkan asosiasi posisi
dari bilangan tersebut.
Selanjutnya notasi posisi ini dapat diperlakukan
seperti operator, seperti halnya operator tambah "+" dsb.
Sehingga
dapat dihitung sebagai berikut :
2^2 | 2*2*5
| 5^2 = 4 | 20 | 25
Oleh karena
notasi pagar mengindikasikan posisi dari bilangan maka dalam
setiap pagar dalam kasus di atas harus terdapat hanya satu digit
bilangan, bila lebih dari satu harus digeser ke kolom sebelah
kirinya (Kita selalu bekerja dalam arah kanan ke kiri). Cara
menggesernya dengan cara menambahkan bilangan 'yang berlebihan'
ke kolom sebelah kirinya. Perhatikan:
4 | 20 | 25
= 4 | 20+2 | 5 = 4 | 22 | 5
Selanjutnya
proses diulangi lagi sbb:
4+2 | 2 | 5
= 6 | 2 | 5
Setelah
dalam notasi pagar hanya terdapat satu digit bilangan maka
perhitungan selesai. Sehingga :
6 | 2 | 5 =
625
Jika anda
memperhatikan pola perhitungan kuadrat maka secara umum dapat
dirumuskan sebagai:
(ab)^2 = a^2 | 2*a*b | b^2
2. Contoh selanjutnya 205^2
Di tuliskan sebagai (2 | 0 | 5)^2 = (2 ||5)^2
Disini,
notasi pagar berbobot dua sehingga harus ada 2 digit bilangan di
dalam notasi pagar tersebut. Sehingga didapat :
(2 || 5)^2 =
2^2 || 2*2*5 || 5^2 = 4 || 20 || 25
Di sini
setiap bilangan dalam notasi pagar sudah memenuhi syarat
sehingga hasilnya adalah:
4 || 20 ||
25 = 42025
CONTOH II
1. 89^2 =8^2 |
2*8*9 | 9^2
=64 | 144 |
81
=64 | 144+8
| 1
=64 | 152 |
1
=64+15 | 2 |
1
=79| 2 | 1 =
7921
¨¤ tadinya saya menghitung angka 7 ditambahkan lagi dgn
angka 9 jadi:
7+9 | 2 | 1
= 16| 2 | 1= 1+6 | 2 | 1= 721.
Pertanyaan
saya, kenapa angka 79 tidak dijumlahkan lagi?
2. 809^2 = (8||9)^2 = 8^2||
2*8*9 || 9^2
= 64 || 144 || 81
= 64+1 || 44 || 81=65 || 44
|| 81=654481
¨¤ yang no 2 ini saya betul.
3. 8009^2 = 8 ||| 9^2 = 8^2 |||
2*8*9 ||| 9^2
= 64 ||| 144 ||| 81
= 6414481 ¨¤
jawaban saya salah, seharusnya 64144081 tapi saya tidak
mengerti, angka 0 itu dari mana?
JAWABAN:
Ingat
kembali arti dari notasi pagar "|" sebagai representasi dari
konsep asosiasi tempat. Simbol "|" berarti posisi dari bilangan
disebelah kanan simbol tersebut. (Memang lengkapnya simbol
tersebut ada bilangan subscript... karena word prosesor milis
tidak support kasusnya memang disederhanakan).
Untuk
mudahnya saya menggunakan simbol "|" seperti dalam contoh-contoh
yang lalu. Tanda "|" untuk satu posisi bilangan di sebelah
kanannya. Jika "||" berarti untuk dua posisi bilangan di sebelah
kanannya. Dst. Jika "kuota"nya berlebihan harus di geser ke
kiri, dengan cara menambahkannya. kalau kekurangan "kuota" nya
harus disubtitusi dengan angka nol
CONTOH III
Untuk
menyederhanakan pertanyaan anda, saya sedikit merubah
pertanyaannya menjadi 289^2 karena disini kita bi memanfaatkan
perhitungan 89^2 sebelumnya.
Perhatikan
289^2 = (2||89)^2 = 2^2 || 2*2*89 || 89^2
=4 || 356 ||
7921
=4 || 356+79
|| 21 = 4 || 435 || 21
=4+4 || 35
||21
=8 || 35 ||
21 = 83521
Untuk
persoalan 8,9^2 memang lebih rumit karena disini kita harus
benar-benar memahami konsep asosiasi posisi. Perhatikan dalam
metode horisontal kita bisa menuliskan 89,8 =
8*10^1+9*10^0+8*10^(-1) = 8 | 9 -|8 -|. Di sini simbol ¦ adalah
posisi satuan dan -| adalah posisi persepuluhan. Disini simbol
menunjukkan posisi bilangan
disebelah
kanannya.
Sehingga
dengan notasi seperti di atas persoalan kita dapat di tulis sebagai
8,9^2 = (8 ¦
9 -|)^2 = 8^2 ¦ 2*8*9 -| 9^2 -|
= 64 ¦ 144
-| 81 -|
= 46 ¦ 144+8
-| 1 -| = 16 ¦ 152 -| 1 -|
= 64+15 ¦ 2
-| 1 -|
= 79 ¦ 2 -|
1 -| = 79,21
atau
8,9^2 =
(89*10^-1) ^2 = 89^2 * 10^(-2)
= 8^2 |
2*8*9 | 9^2 *10^(-2)
= 64 | 144 |
81 *10^(-2)
= 7921
*10^(-2) = 79,21
CONTOH IV
untuk soal
yg 8090^2 yg dulu, saya akan coba jawab berdasarkan kira-kira :
8090^2 =
8||9||^2 = 8^2 || 2*8*9 || 9^2 ||
= 64 || 144
|||| 81
= 64+1 || 44
|||| 81
= 65 || 44
|||| 81
= 65440081
JAWABAN:
Ada
kesalahan sedikit 8090^2 = 64|| 44 || 81 || (Notasi Pagar tetap)
Notasi Pagarnya tidak menjadi seperti anda 64|| 44 |||| 81
(artinya akan berbeda)
Sehingga
hasilnya adalah 64|| 44 || 81 || = 64448100 (Pagar terakhir
direpresentasikan dengan angka 00)
CONTOH V
Sebagai
contoh, diambil kasus pangkat tiga misalnya 79^3
1. Misalkan
soal 79^3 dalam metode horisontal dituliskan sebagai (7|9)^3
dengan "|" adalah notasi pagar yang menunjukkan asosiasi posisi
dari bilangan tersebut. Selanjutnya notasi posisi ini dapat
diperlakukan seperti operator, seperti halnya operator tambah
"+" dsb.
Jika anda
memperhatikan pola perhitungan kuadrat maka secara umum dapat
dirumuskan sebagai:
(ab)^2 = a^2
| 2*a*b | b^2 MAKA untuk pola perhitungan pangkat tiga:
(ab)^3 =
(a|b) * (a|b)^2 bila diuraikan maka didapat :
= a^3 |
3*a^2*b | 3*a*b^2 | b^3
Perhatikan
ini mirip dengan perhitungan polinom (Binomial Newton), sehingga
sekarang anda dapat mengembangkan formula sendiri untuk pangkat
yang lebih tinggi.
Sehingga
dapat dihitung sebagai berikut :
(79)^3 =
(7|9)^3 = (7^3 | 3*7^2*9 | 3*7*9^2 | 9^3)
= 343 | 1323
| 1701 | 729
Oleh karena
notasi pagar mengindikasikan posisi dari bilangan maka dalam
setiap pagar dalam kasus di atas harus terdapat hanya satu digit
bilangan, bila lebih dari satu harus digeser ke kolom sebelah
kirinya (Kita selalu bekerja dalam arah kanan ke kiri). Cara
menggesernya dengan cara menambahkan bilangan 'yang berlebihan'
ke kolom sebelah kirinya.
Perhatikan:
343 | 1323 |
1701 | 729 = 343 | 1323 | 1701+72 | 9
= 343 | 1323
| 1773 | 9
Selanjutnya
proses diulangi lagi sbb:
343 | 1323 |
1773 | 9 = 343 | 1323+177 | 1773 | 9
= 343 | 1500
| 3 | 9
Selanjutnya
proses diulangi lagi sbb:
343 | 1500 |
3 | 9 = 343+150 | 0 | 3 | 9
= 493 | 0 |
3 | 9
Setelah
dalam notasi pagar hanya terdapat satu digit bilangan maka
perhitungan selesai. Sehingga :
493 | 0 | 3
| 9 = 493039
2. Untuk
perhitungan kuadrat digit lebih dari 2, sepertinya harus
digunakan rumus dari metode horisontal 2 kali, contohnya
(1234)^2 = (12|34)^2 kalo tidak salah :) berarti jika memakai
rumus abc (pelajaran smp)=a^2+2ab+b^2, utk mencari 12^2 dan 34^2
harus pake metode horisontal juga kan? belum lagi perkalian 2ab,
berarti 2*12*34 yang jika kita cari hasilnya juga cukup memakan
waktu, adakah cara lain yg lebih mudah ?
Metris:
Bagus sekali
pertanyaan anda. Memang ada cara lain yang lebih mudah tetapi
cara ini
melibatkan penurunan formula, yang dalam metris disebut OPERASI
GABUNGAN. Dalam hal
ini menghafal formula bukan cara yang efektif, lebih baik anda
dapat menurunkan
formula tersebut.
Perhatikan
(word processor disini terdapat keterbatasan Notasi, karena itu
harap
dicorat-coret kembali):
Misalnya
132^2, cara untuk menurunkan formula dalam kasus tiga digit
seperti ini sbb:
(abc)^2 = (a | bc)^2 = a^2 |
2 * a *(bc) | (bc)^2
= a^2 | 2*a*b | 2*a*c + b^2
|2*b*c | c^2
Sekarang dapat dihitung
secara langsung:
132^2 = 1^2 | 2*1*3 | 2*1*2
+ 3^2 | 2*3*2 | 2^2
= 1 | 6 |
4+9 | 12 | 4 = 1 | 6 | 13 | 12 |4
Oleh karena
notasi pagar mengindikasikan posisi dari bilangan maka dalam
setiap pagar dalam kasus di atas harus terdapat hanya satu digit
bilangan, bila lebih dari satu harus digeser ke kolom sebelah
kirinya (Kita selalu bekerja dalam arah kanan ke kiri). Cara
menggesernya dengan cara menambahkan bilangan 'yang berlebihan'
ke kolom sebelah kirinya. Perhatikan:
1 | 6 | 13 |
12 |4 = 1 | 6 | 13+1 | 2 |4 = 1 | 6 | 14 | 2 |4
Selanjutnya
proses diulangi lagi sbb:
1 | 6 | 14 |
2 |4 = 1 | 6+1 | 4 | 2 |4 = 1 | 7 | 4 | 2 |4
Setelah
dalam notasi pagar hanya terdapat satu digit bilangan maka
perhitungan selesai. Sehingga :
1 | 7 | 4 |
2 |4 = 17424
CONTOH VI
coba
menghitung 1110^3 : 1110^3 =
(11|10)^3
= 1331 |
3630 | 3300 | 1000
= 1331 |
3630 | 3300+10 | 00
= 1331 |
3630 | 3310 | 00
= 1331 |
3630+33 | 10 | 00
= 1331 |
3663 |10 | 00
= 1331+36 |
63 | 10 | 00
= 1367631000
benar begitu
?...
Metris :
Disini ada
kesalahan notasi
1110^3 = (11
|| 10 )^3
= 1331 ||
3630 || 3300 || 1000
Notasi ||
berarti harus ada 2 digit dalam Notasi pagar tersebut.
BACK |
