|
Aljabar
Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang
mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari
hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa
huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai
sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah.
Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan
yang ingin diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buku dan
kemudian Budi mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi, maka
dalam aljabar, buku Budi dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan
menggunakan aljabar, Anda dapat menyelidiki pola aturan aturan
bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara
memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola
umumnya.
Aljabar telah digunakan matematikawan sejak beberapa ribu tahun
yang lalu. Sejarah mencatat penggunaan aljabar telah dilakukan
bangsa Mesopotamia pada 3.500 tahun yang lalu. Nama Aljabar
berasal dari kitab yang ditulis pada tahun 830 oleh
Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi dengan judul
‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The
Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing"),
yang menerapkan operasi simbolik untuk mencari solusi secara
sistematik terhadap persamaan linier dan kuadratik. Salah satu
muridnya, Omar Khayyam menerjemahkan hasil karya Al-Khwarizmi ke
bahasa Eropa. Beberapa abad yang lalu, ilmuwan dan matematikawan
Inggris, Isaac Newton (1642-17 27) menunjukkan, kelakuan sesuatu
di alam dapat dijelaskan dengan aturan atau rumus matematika
yang melibatkan aljabar, yang dikenal sebagai Rumus Gravitasi
Newton.
Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori
Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar
Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah
menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk
Ajabar secara keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan
perkalian bilangan, konsep variabel, definisi polinom,
faktorisasi dan menentukan akar pangkat.
Sekarang ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada
sekedar Aljabar Elementer, yaitu meliputi Ajabar Abstrak,
Aljabar Linier dan sebagainya. Seperti dijelaskan di atas dalam
aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan
melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan
elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan dan Perkalian
dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini menuju
pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).
Asal Mula Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia
Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit,
dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip
dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini,
mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk
nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya
dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan
Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir,
dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium
pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode
geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya
seperti yang disebutkan dalam ‘the Rhind Mathematical
Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid's Elements’,
dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil
karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab
Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi
formula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan
tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan
memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.
Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari
kata arab "al-jabr" yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr
wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious Book on
Calculation by Completion and Balancing"), yang ditulis oleh
Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata
‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion).
Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara
tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai
sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas
sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang
mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya
pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia
juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahan
persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantus
menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat
elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’,
karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar Khayyam,
membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri
dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara,
serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan
berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom
tingkat tinggi lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut
dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang
determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki
di abad 17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun
kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier
secara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga
menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di
abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19,
mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah
keterkonstruksian (constructibility)
Tahap-tahap perkembangan Aljabar simbolik secara garis besar
adalah sebagai berikut:
-
Aljabar Retorik (Rhetorical algebra), yang dikembangkan
oleh bangsa Babilonia dan masih mendominasi sampai dengan abad
ke-16;
-
Aljabar yang dikontruksi secara Geometri, yang dikembangkan oleh
Matematikawan Vedic India dan Yunani Kuno;
-
Syncopated algebra, yang dikembangkan oleh Diophantus dan
dalam ‘the Bakhshali Manuscript’; dan
-
Aljabar simbolik (Symbolic algebra), yang titik puncaknya
adalah pada karya Leibniz.
Klasifikasi dari Aljabar
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut
ini:
1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada
bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan
variabel, dan Aturan yang membangun ekspresi dan persamaan
Matematika yang melibatkan simbol-simbol.(bidang ini juga
mencakup materi yang biasanya diajarkan di sekolah menengah
yaitu ‘Intermediate Algebra’ dan ‘college algebra’);
2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang
mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields)
yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;
3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari
Ruang Vektor (termasuk Matriks);
4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari
semua Struktur aljabar.
Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam
Grup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras
over a field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur
Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar
tersebut dalam bidang Topologi.
Aljabar Elementer
Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang
diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika
apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam
Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +,
−, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan
seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y).
Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita
menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b
+ a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah
pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat
sistem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara
langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika
yang mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh
“Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10"). Hal
ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari
rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh "Jika anda
menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x - 10
rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x - 10, dimana f adalah
fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.").
BACK |
